PROPORTIONNALITE

FONCTIONS NUMERIQUEs

 

Proportionnalité

Définition : deux suites de nombre x1, x2, …., y1, y2 sont dites proportionnelles s’il existe un réel k tel que y1=kx1, y2=kx2. k est le coefficient de proportionnalité.

Application de la proportionnalité

  1 are = 1 décamètre ²

  1 litre = 1 décimètre ²

 

Soit f une forme et F cette même forme agrandie ou réduite.

dimension (F) = k * dimensions (f)

aire (F) = k² * aire (f)

volume (F) = k3 * volume (f)

k est le facteur d’échelle.

 

Fonctions numériques

Ø      Droites

Toute droite non // à l’axe des ordonnées a pour équation y=mx+p

Si p=0, alors y=mx caractérise les droites passant par l’origine du repère.

Si m=0, alors y caractérise les droites // à l’axe des abscisses d’équation y=0.

L’équation x=k caractérise les droites // à l’axe des ordonnées d’équation x=0.

Ø      Fonction linéaire

Une fonction est dite linéaire si à tout réel x, elle associe le réel f(x)=mx

Propriétés : Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité

                     La représentation graphique de la fonction f est la droite d’équation y=mx+p. Quand la droite passe par l’origine du repère elle caractérise la linéarité.

Ø      Fonction affine

Une fonction f est dite affine si à tout réel x, elle associe le réel f(x)=mx+p

Propriétés : Sa représentation graphique est la droite d’équation y=mx+p. Elle ne passe pas par l’origine du repère, donc ne traduit pas une situation de proportionnalité.

                     Si je connais (x1, f(x1)) et (x2, f(x2)), alors m = f(x2) – f(x1) / x2 – x1

P se calcule à l’aide du couple (x1, f(x1)) ou (x2, f(x2))

Ø      Fonction puissance

Une fonction f est appelée fonction puissance si à tout réel x, elle associe le réel f(x)=xn , n appartient N

f(x)=x²

Ø      Augmentation et diminution en pourcentage

Une augmentation en pourcentage fait passer de la valeur x à la valeur

Y = x (1 +   t   )

 

Une diminution en pourcentage fait passer de la valeur x à la valeur

Y = x (1 -    t   )

 

Aspects pédagogique et didactique

La proportionnalité est vue dès la multiplication = CE1

En revanche, la définition, la linéarité, la règle de 3 sont vus en CM1

Caractériser une situation de proportionnalité par un graphique = CM2

Ø      Quelles situations proposer ?

Si j’achète 3 paquets de Mars®, je paierai 3 fois plus.

Le prix est proportionnel à la masse comme le fromage.

Il n’y a pas proportionnalité entre le poids de la lettre et le prix du timbre.

·        Les expériences :

Il y a proportionnalité avec la masse suspendue et l’allongement du ressort (physique).

La vitesse moyenne : quand on courre la distance est proportionnelle au temps de parcours.

Proportionnalité entre le périmètre et l’aire d’un carré.

·        Les notions d’échelles et de pourcentage

En CM2

Ø      Classification des problèmes

·        Reconnaître des cas de proportionnalité :

Problèmes de la vie courante, expérience.

Etudier les tableaux, voir s’ils sont proportionnels ou non.

Reconnaissance graphique : si une droite passe par l’origine.

·        Quatrième proportionnelle :

a   b

 


c   ?

 

-    mêmes mesures, mêmes unités  = agrandissement, réduction de figures géométriques.

-    mêmes mesures, unités différents = échelles

-    mesures différentes = distance et temps avec la vitesse / prix et masse avec le fromage.

-    comparaison de mélange

-    double proportionnalité : le prix d’un séjour par jour et par personne.

·        Procédures de résolution :

-    recherche et utilisation du coefficient de proportionnalité

-    utilisation des 2 linéarité avec comme cas particulier la règle de 3.

-    CM2 : recours à un graphique

·        Difficultés :

-    traduire un énoncé sous forme de tableau

-    reconnaître d’il y a proportionnalité ou pas = donner suffisamment de situations de référence

-    les agrandissements et réductions

-    choix du mode de résolution = les valeurs numériques qui vont induire la procédure

-    liés au notion enseigner au CM1 comme les fractions et les décimaux.