PROPORTIONNALITE
FONCTIONS NUMERIQUEs
Définition : deux suites de nombre x1, x2, …., y1, y2 sont dites
proportionnelles s’il existe un réel k tel que
y1=kx1, y2=kx2. k est le
coefficient de proportionnalité.
1 are = 1 décamètre ²
1 litre = 1 décimètre ²
Soit f une forme et F cette même
forme agrandie ou réduite.
dimension (F) = k *
dimensions (f)
aire (F) = k² * aire (f)
volume (F) = k3 * volume (f)
k est le facteur d’échelle.
Ø
Droites
Toute droite non // à l’axe
des ordonnées a pour équation y=mx+p
Si p=0, alors y=mx
caractérise les droites passant par l’origine du repère.
Si m=0, alors y caractérise les
droites // à l’axe des abscisses d’équation y=0.
L’équation x=k caractérise les
droites // à l’axe des ordonnées d’équation x=0.
Ø
Fonction
linéaire
Une fonction est dite
linéaire si à tout réel x, elle associe le réel f(x)=mx
Propriétés : Une fonction linéaire traduit une situation
de proportionnalité
La
représentation graphique de la fonction f est la droite d’équation y=mx+p. Quand
la droite passe par l’origine du repère elle caractérise la linéarité.
Ø
Fonction
affine
Une fonction f est dite
affine si à tout réel x, elle associe le réel f(x)=mx+p
Propriétés : Sa représentation graphique est la droite
d’équation y=mx+p. Elle ne passe pas par l’origine du repère, donc ne traduit
pas une situation de proportionnalité.
Si je
connais (x1, f(x1)) et (x2, f(x2)), alors m = f(x2) – f(x1) / x2 – x1
P se calcule à l’aide du
couple (x1, f(x1)) ou (x2, f(x2))
Ø
Fonction
puissance
Une fonction f est appelée
fonction puissance si à tout réel x, elle associe le réel f(x)=xn ,
n appartient N
f(x)=x²
Ø
Augmentation
et diminution en pourcentage
Une
augmentation en pourcentage fait passer de la valeur x à la valeur
Y =
x (1 + t )
Une
diminution en pourcentage fait passer de la valeur x à la valeur
Y =
x (1 - t )
Aspects
pédagogique et didactique
La
proportionnalité est vue dès la multiplication = CE1
En
revanche, la définition, la linéarité, la règle de 3 sont vus en CM1
Caractériser
une situation de proportionnalité par un graphique = CM2
Ø
Quelles
situations proposer ?
Si
j’achète 3 paquets de Mars®, je paierai 3 fois plus.
Le
prix est proportionnel à la masse comme le fromage.
Il
n’y a pas proportionnalité entre le poids de la lettre et le prix du timbre.
·
Les
expériences :
Il
y a proportionnalité avec la masse suspendue et l’allongement du ressort
(physique).
La
vitesse moyenne : quand on courre la distance est proportionnelle au temps
de parcours.
Proportionnalité
entre le périmètre et l’aire d’un carré.
·
Les
notions d’échelles et de pourcentage
En
CM2
Ø
Classification
des problèmes
·
Reconnaître
des cas de proportionnalité :
Problèmes
de la vie courante, expérience.
Etudier
les tableaux, voir s’ils sont proportionnels ou non.
Reconnaissance
graphique : si une droite passe par l’origine.
·
Quatrième
proportionnelle :
a b
c ?
- mêmes mesures, mêmes unités = agrandissement, réduction de figures
géométriques.
- mêmes mesures, unités différents =
échelles
- mesures différentes = distance et temps
avec la vitesse / prix et masse avec le fromage.
- comparaison de mélange
- double proportionnalité : le prix
d’un séjour par jour et par personne.
·
Procédures
de résolution :
- recherche et utilisation du coefficient
de proportionnalité
- utilisation des 2 linéarité avec comme
cas particulier la règle de 3.
- CM2 : recours à un graphique
·
Difficultés :
- traduire un énoncé sous forme de
tableau
- reconnaître d’il y a proportionnalité
ou pas = donner suffisamment de situations de référence
- les agrandissements et réductions
- choix du mode de résolution = les
valeurs numériques qui vont induire la procédure
- liés au notion enseigner au CM1 comme
les fractions et les décimaux.