LA NUMERATION
Les différents systèmes
de numération :
Ø
Système
de numération décimale
·
La
nôtre : 10 signes =
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ;
8 ; 9. Le zéro indique il y a un manque. Numération de position =
combinaison des 10 premiers signes.
·
Le
système égyptien :
décimale et primaire, il existe un chiffre pour chaque puissance de 10. Pas de
zéro et pas de numération de position. La valeur du signe ne dépend pas de
sa place dans le nombre.
·
Le
système romain :
décimale et 1 chiffre pour chaque puissance de 10.
·
Le
système sino-japonais :
signe de 1 à 9 et des signes pou 10 ; 100 ; 1000. Utilisation de la
décomposition canonique.
Ø
Système
de numération non décimale
Ø
Passage
de notre système à une base quelconque
77 en base 3
77 3 77 = 25*3 +2 -------2
17 25 = 8*3 + 1 ------12
2 25 8 = 2*3 + 2 2212
Ø
Passage
d’une base quelconque à notre système
b
an an-1 --------------a4 a3
a1 a0 = an*bn + an-1*bn-1
+ ---- + a4*b4 + a3*b3 + a2*b2
–etc
5
2431 = 2*53 + 4*52 + 3*51
+ 1*50 = 250 +100 + 15 + 1 = 366
Ø
Opérations
dans une base quelconque
base 7 : 6 4 2 3
unités = 3 unités
+
3 5 1 9 dizaines
= 1 centaine et 2 dizaines
10 centaines =
1millier et 3 centaines
1 3 2 3
3+ 3+
base 3 :
2 1 1 2
-
1 1 2 1
0 2
2 1
base 4 : 2
3 1 3*3 = 9
2 centaines et 1 unité
* 3
3*2 = 6 6 c + 2 c = 8 centaines = 2
milliers
2
0
1 3
L’ensemble des
naturels :
Définition : l’ensemble des naturels est une suite
vérifiant : tout naturel n admet un successeur n+1. 2 naturels distincts
ont un successeurs distincts. 0 est le successeur d’aucun nombre.
·
L’addition : commutative
a+b = b+a ; associative a+(b+c) = (a+b)+c ; élément neutre a+0
= 0+a = a
·
La
soustraction : a –
b a>b
·
La
multiplication :
commutative a*b = b*a ; associative
a*(b*c) = (a*b)*c ; distributive a* (b+c) = a*b +a*c ; élément neutre
1 a*1 = a*1 = a ; élément
absorbant 0 a*0=0*a=0.
Ø
Arithmétique
·
Multiple
diviseur :
·
Division
euclidienne : Soit a et
b 2 naturels (b≠0). Il existe un unique couple (q ;r) de naturels
tel que : a= bq +r avec r<b. a : le dividende, b : le
diviseur, q : le quotient, r : le reste.
51 par 6 51=6*8+3 avec 3<6 (niveau CM1).
·
Les nombres premiers : un nombre naturel est premier s’il admet que
2 diviseurs : 1 et lui-même. 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ;
13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 …
Décomposition de facteurs
premiers : 240 2 240 = 24*3*5
120 2
60
2
30
2
15
3
5
5
1
·
PGCD
– PPCM : Le pgcd de a et
b est le plus grand entier divisant a et b. Le ppcm de a et b est le plus petit
multiple commun à a et b.
diviseurs de 36 :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.
40 :
1 ; 2 ; 4 ; 58 ; 10 ; 20 ; 40.
multiple de 2 = nombre pair.
multiple de 3 = somme des
chiffres doit être un multiple de 3
multiple de 4 = 2 derniers
chiffres forment un multiple de 4 ex : 416 ; 1028
multiple de 5 = se termine
par 0 et 5
multiple de 9 = somme des
chiffres doit être un multiple de 9
multiple de 10 = se termine
par 0
multiple de 11 = quand c’est
un nombre à 3 chiffres, la sommes des extrêmes doit être égal au chiffre du
milieu.
Aspects pédagogiques et
didactiques :
L’aspect cardinal du nombre,
c’est le nombre d’élément d’un ensemble d’une collection.
L’aspect ordinal du nombre.
Les nombres servent
principalement à dénombrer une quantité.
Il faut que la suite des
nombres soit stables et conventionnelle.
Ø
Rochel
Gelman
Dénombrer c’est assigner un
symbole oral ou écrit à des objets qui existe selon les principes
suivants :
-
la
nature des objets ne joue aucun rôle dans le dénombrement.
-
l’ordre
dans lequel on compte les objets n’affecte pas le résultat final.
-
a
chaque élément de la collection est associé un mot de la suite numérique.
-
le
dernier mot de la suite est le dernier
mot énoncé c’est le nombre d’élément de la collection.
Ø
Mode
de calcul
-
la
correspondance terme à terme
-
le
dénombrement en récitant la suite numérique
-
l’estimation :
l’évaluation approximative, la reconnaissance immédiate
-
recomptage :
ils recommencent à compter à partir de 1
-
sur
comptage : part de 5 qui est mémorisé et continue à partir de 5
-
double
comptage écart entre 17 et 26
17 18
13 20 21
22 23 24
25 26
1
2 3 4
5 6 7
8 9
-
groupement
échange10 unités = 1 dizaine et 10 dizaines = 1 centaine.
-
calcul
automatisé : résultat mémorisé table + (CP) et table de * (CE1),
algorithme toujours la même méthode.
-
calcul
réfléchi : procédure personnelle différente selon les enfants : 24*4
(25-1)*4
Ø
Opérations
-
Maternelle
Addition,
soustraction = recherche de présent et absents, multiplication = chaussures et
poupées, division = partage.
-
CP
Technique
opératoire (calcul posé en colonne) de l’addition, nombre plus petit que 100.
On parle de la soustraction : a+----=b (addition à trous).
-
CE1
Tous
les nombres jusqu'à 1000 (chiffre et lettre)
Technique
opératoire de la soustraction (pas exigible fin cycle 2)
On
voit la multiplication : autre écriture de l’addition réitérée
Table
jusqu'à 5
2*100+4*10+7=247 numération = décomposition canonique.
-
CE2
Technique
opératoire de la multiplication
Autres
tables
-
CM1
Les
grands nombres comme les millions.
On
découvre la division euclidienne.