LA NUMERATION

 

Les différents systèmes de numération :

Ø      Système de numération décimale

·        La nôtre : 10 signes = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9. Le zéro indique il y a un manque. Numération de position = combinaison des 10 premiers signes.

·        Le système égyptien : décimale et primaire, il existe un chiffre pour chaque puissance de 10. Pas de zéro et pas de numération de position. La valeur du signe ne dépend pas de sa place dans le nombre.

·        Le système romain : décimale et 1 chiffre pour chaque puissance de 10.

·        Le système sino-japonais : signe de 1 à 9 et des signes pou 10 ; 100 ; 1000. Utilisation de la décomposition canonique.

Ø      Système de numération non décimale

Ø      Passage de notre système à une base quelconque

77 en base 3

77    3                      77 = 25*3 +2              -------2

17                            25 = 8*3 + 1               ------12

  2    25                      8 = 2*3 + 2                  2212

Ø      Passage d’une base quelconque à notre système

                                            b

an   an-1   --------------a4  a3  a1  a0 =  an*bn + an-1*bn-1 + ---- + a4*b4 + a3*b3 + a2*b2 –etc

         5

2431    = 2*53 + 4*52 + 3*51 + 1*50 = 250 +100 + 15 + 1 = 366

Ø      Opérations dans une base quelconque

base 7 :     6 4 2                   3 unités = 3 unités

              +  3 5 1                    9 dizaines = 1 centaine et 2 dizaines

                                               10 centaines = 1millier et 3 centaines

               1 3 2 3

 

                       3+ 3+

base 3 :     2  1   1   2                      

              -  1   1   2   1

                                

                 0   2  2   1

 

 base 4 :         2  3  1             3*3 = 9    2 centaines et 1 unité

                 *              3 3*2 = 6     6 c + 2 c = 8 centaines = 2 milliers

                                        

2        0 1  3

 

L’ensemble des naturels :

Définition : l’ensemble des naturels est une suite vérifiant : tout naturel n admet un successeur n+1. 2 naturels distincts ont un successeurs distincts. 0 est le successeur d’aucun nombre.

·        L’addition : commutative  a+b = b+a ; associative a+(b+c) = (a+b)+c ; élément neutre a+0 = 0+a = a

·        La soustraction : a – b        a>b

·        La multiplication : commutative  a*b = b*a ; associative a*(b*c) = (a*b)*c ; distributive a* (b+c) = a*b +a*c ; élément neutre 1    a*1 = a*1 = a ; élément absorbant 0  a*0=0*a=0.

Ø      Arithmétique

·        Multiple diviseur :

·        Division euclidienne : Soit a et b 2 naturels (b≠0). Il existe un unique couple (q ;r) de naturels tel que : a= bq +r avec r<b. a : le dividende, b : le diviseur, q : le quotient, r : le reste.

51 par 6   51=6*8+3 avec 3<6 (niveau CM1).

·        Les nombres premiers : un nombre naturel est premier s’il admet que 2 diviseurs : 1 et lui-même. 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 …

Décomposition de facteurs premiers :     240                 2    240 = 24*3*5

 120                2

60                                 2

30                                 2

15                                 3

5                                 5

1

 

·        PGCD – PPCM : Le pgcd de a et b est le plus grand entier divisant a et b. Le ppcm de a et b est le plus petit multiple commun à a et b.

diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.

                      40 : 1 ; 2 ; 4 ; 58 ; 10 ; 20 ; 40.

multiple de 2 = nombre pair.

multiple de 3 = somme des chiffres doit être un multiple de 3

multiple de 4 = 2 derniers chiffres forment un multiple de 4 ex : 416 ; 1028

multiple de 5 = se termine par 0 et 5

multiple de 9 = somme des chiffres doit être un multiple de 9

multiple de 10 = se termine par 0

multiple de 11 = quand c’est un nombre à 3 chiffres, la sommes des extrêmes doit être égal au chiffre du milieu.

 

Aspects pédagogiques et didactiques :

L’aspect cardinal du nombre, c’est le nombre d’élément d’un ensemble d’une collection.

L’aspect ordinal du nombre.

Les nombres servent principalement à dénombrer une quantité.

Il faut que la suite des nombres soit stables et conventionnelle.

Ø      Rochel Gelman

Dénombrer c’est assigner un symbole oral ou écrit à des objets qui existe selon les principes suivants :

-          la nature des objets ne joue aucun rôle dans le dénombrement.

-          l’ordre dans lequel on compte les objets n’affecte pas le résultat final.

-          a chaque élément de la collection est associé un mot de la suite numérique.

-          le dernier mot de la suite  est le dernier mot énoncé c’est le nombre d’élément de la collection.

 

Ø      Mode de calcul

-          la correspondance terme à terme

-          le dénombrement en récitant la suite numérique

-          l’estimation : l’évaluation approximative, la reconnaissance immédiate

-          recomptage : ils recommencent à compter à partir de 1

-          sur comptage : part de 5 qui est mémorisé et continue à partir de 5

-          double comptage écart entre 17 et 26

17  18  13  20  21  22  23  24  25  26

        1   2    3    4    5    6    7     8    9

-          groupement échange10 unités = 1 dizaine et 10 dizaines = 1 centaine.

-          calcul automatisé : résultat mémorisé table + (CP) et table de * (CE1), algorithme toujours la même méthode.

-          calcul réfléchi : procédure personnelle différente selon les enfants : 24*4

 (25-1)*4

Ø      Opérations

-          Maternelle

Addition, soustraction = recherche de présent et absents, multiplication = chaussures et poupées, division = partage.

-          CP

Technique opératoire (calcul posé en colonne) de l’addition, nombre plus petit que 100. On parle de la soustraction : a+----=b (addition à trous).

-          CE1

Tous les nombres jusqu'à 1000 (chiffre et lettre)

Technique opératoire de la soustraction (pas exigible fin cycle 2)

On voit la multiplication : autre écriture de l’addition réitérée

Table jusqu'à 5

2*100+4*10+7=247   numération = décomposition canonique.

-          CE2

Technique opératoire de la multiplication

Autres tables

-          CM1

Les grands nombres comme les millions.

On découvre la division euclidienne.