Fiche descriptive

 

Après avoir constaté lors de stages en cycle 2 et plus précisément en CP dans une école classée en Z.E.P. que l’enseignante ne pratiquait pas de résolution de problèmes il nous est apparu important de s’intéresser et s’interroger aux difficultés et aux apports de cette activité au cycle des apprentissages fondamentaux. La typologie des problèmes est variée et les fonctions de l’activité également. Il s’avère que la pratique de la résolution de problème est le fruit d’un véritable apprentissage auquel il est important d’exercer les jeunes élèves le plus tôt possible. Cet apprentissage peut se faire au moyen de problèmes comme les situation-problèmes et de problèmes ouverts permettant de travailler l’acquisition d’un savoir méthodologique de même qu’un savoir de type cognitif. Toutefois les difficultés rencontrées et inhérentes à cette pratique sont nombreuses : compréhension et lecture de l’énoncé, stratégie et procédure de résolution, contrat didactique. A cela s’ajoute le poids de l’erreur vécue comme un échec et une faute induisant un blocage d’ordre affectif constatable chez une majorité d’élèves. C’est cependant cette erreur qui donne tout son sens à la résolution de problème. La place de l’élève est par conséquent centrale et c’est de son point de vue qu’il nous a semblé essentiel de se placer.

 

 

 

 

 


 

Fiche descriptive                                                                                                            1

I.     Introduction                                                                                                               3

II.    Le problème : outil de la construction du savoir                           5

1.          Le problème mathématique et ses différents aspects                                                                                             5

a.          Définition                                                                                                                                                                    5

b.          Typologie de problèmes                                                                                                                                           6

c.          Représentation et modélisation                                                                                                                               7

2.          Apprendre à résoudre                                                                                                                                                  9

a.          La résolution                                                                                                                                                              9

b.          Les problèmes pour chercher                                                                                                                                  9

3.          Résoudre pour apprendre                                                                                                                                         10

a.          Le savoir comme objet de construction                                                                                                               10

b.          Les problèmes pour apprendre                                                                                                                              11

III.      Nature des difficultés liées à la résolution de problème  12

1.          Difficultés liées à la lecture de l’énoncé                                                                                                                12

a.          Les difficultés d’ordre linguistique                                                                                                                       12

b.          Expérience personnelle et connaissance du monde                                                                                           13

c.          Le contrat didactique                                                                                                                                              14

2.          Difficultés liées à la nature des procédures mises en œuvre                                                                             15

a.          Compétences en cours d’acquisition                                                                                                                   15

b.          Choix de la procédure de résolution                                                                                                                     16

3.          Les blocages d’ordre affectif                                                                                                                                    17

a.          Le poids de l’échec                                                                                                                                                 17

b.          Interactions avec la classe                                                                                                                                     18

IV.     Apports de la résolution : la question du sens                           19

1.          Le statut de l’erreur                                                                                                                                                  19

a.          L’erreur comme étape du raisonnement                                                                                                               19

b.          Dynamique de recherche                                                                                                                                        20

2.          La question du sens                                                                                                                                                    20

a.          Le sens du savoir                                                                                                                                                    20

b.          Le sens de la recherche                                                                                                                                          21

Repères bibliographiques                                                                                     22

 


I.       Introduction

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Les Programmes de l’école primaire de 1995 nous indiquent à propos de l’activité mathématique au cycle des apprentissages fondamentaux qu’elle « vise à développer l’aptitude à la recherche et au raisonnement ». L’entrée dans ce cycle constitue donc pour l’élève une étape majeure dans la formation de son raisonnement mathématique à laquelle viennent s’ajouter le renforcement de structures[1] et la construction de connaissances. La dimension temporelle est par ailleurs l’expression de la difficulté des élèves d’opérer les transferts de compétences d’une situation à une autre et elle témoigne surtout de leur difficulté d’entrer dans cette nouvelle langue, distincte de leur langue naturelle. En ce sens l’apprentissage à la résolution de problème nous apparaît comme indispensable pour percevoir l’enjeu et la spécificité des Mathématiques, si souvent objet d’inhibition chez les élèves.

Après avoir observé et constaté l’absence de cette activité au sein de deux classes de CP d'une école située en Z.E.P., il nous est apparu comme essentiel de s’interroger sur la place de l’activité de résolution de problème au cycle 2 et en particulier sur les difficultés mises en lumière par cette question. Il s’agit donc à l’occasion de ce travail de se pencher sur les enjeux et les apports de la résolution de problèmes. Quels sont les intérêts qu’elle présente ? Pour quelles raisons peut-il être difficile de la mettre en œuvre ou plutôt quelles difficultés rencontrent les élèves dans sa pratique ? Quel rôle jouent celles-ci dans la résolution d’un problème ? En quoi participent-elles de la cohérence de la discipline mathématique ? Autant de questions qui nous font aborder cette activité du point de vue de l’apprentissage et non de celui de l’enseignement, en d’autres termes l’élève est ici le centre de cette activité que nous tenterons d’appréhender dans sa densité.

Il s’agira par conséquent de s’attacher à poser une définition du problème mathématique, d'en éclairer certains aspects pour ensuite s’intéresser aux difficultés inhérentes à la résolution de problème et enfin montrer comment elle permet de conférer du sens à l’apprentissage des Mathématiques.


II.     Le problème : outil de la construction du savoir

 

Préalablement à toute réflexion approfondie sur la question, il convient de poser quelques définitions qui nous éclaireront sur les enjeux de l’activité de résolution de problèmes.

 

1.      Le problème mathématique et ses différents aspects

Comme nous le rappelle F. Boule, depuis l’Ecole de Genève, le savoir est perçu comme un objet de construction et la discipline des Mathématiques a largement intégré cette conception.

 

a.      Définition

On trouve chez A. Descaves citant J.-M. Hoc, une définition générale du problème comme la « représentation qu’un système cognitif construit à partir d’une tâche sans disposer immédiatement d’une procédure admissible pour atteindre ce but ». On peut sans peine opérer un transfert du domaine de la psychologie cognitive vers le champ des Mathématiques : tout enfant se trouvant face à une question d’ordre mathématique à laquelle il ne sait pas répondre est confronté à un problème. Autrement dit, l’élève est face à un problème lorsqu’il ne dispose pas d’emblée des outils, des connaissances ou de la méthode pouvant lui permettre de surmonter cet obstacle et la représentation qu’il s’en fait est liée aux possibilités perçues de le résoudre.

Ceci a pour conséquence que la notion de problème est évolutive : proposer une situation de type additif en début de cycle des apprentissages fondamentaux alors que les élèves ne disposent pas encore de la technique de l’addition les conduira à devoir élaborer une stratégie de résolution, contrairement à des élèves de fin de cycle qui disposeront immédiatement de la solution, sans avoir à élaborer de procédure ce qui conduit l’enseignant à devoir comme nous le précisent les auteurs de l’article Les problèmes pour apprendre en GS et au CP cerner les compétences des élèves. Le problème « classique » se présente généralement comme nous le rappelle O. Renaut sous la forme d’un énoncé accompagné de questions, comportant le plus souvent des nombres écrits en chiffres et présentant une situation de la vie quotidienne et le caractère essentiel de ce type de problème réside selon lui dans son fonctionnement en mode « fermé » à savoir qu’il suppose une méthode attendue, mettant en jeu une opération. L’enjeu pour l’élève est par conséquent d’identifier cette opération qui le conduira à la solution, ce qui entraîne une implication très forte comme nous le verrons dans un deuxième temps.

 

b.      Typologie de problèmes

Au-delà de ce problème dit « classique » se trouve en réalité plusieurs catégories de problèmes aux natures et fonctions diverses. De manière générale ces classements sont établis sur des critères différents : finalité, composition ou encore domaine mathématique de référence. Cependant nous nous attacherons ici à la classification établie par R. Charnay en fonction des objectifs d'apprentissage. On trouve dans un premier temps les problèmes de  réinvestissement permettant l’utilisation de notions déjà étudiées, les problèmes de transfert visant à étendre le champ d’utilisation d’une notion, les problèmes d’intégration, plus complexes dans la mesure où l’élève est amené à utiliser conjointement plusieurs catégories de connaissances et enfin les problèmes d’évaluation permettant de faire le point sur la manière dont les connaissances sont maîtrisées. On remarquera qu’un même problème peut trouver sa place dans différentes catégories. On remarquera toutefois que la notion de contrat didactique sur laquelle nous reviendrons est fortement ancrée dans l’activité de résolution et en particulier au cycle 2 où l’élève fait ses premiers pas en matière de résolution de problème et ne perçoit pas naturellement les enjeux liés à cette activité si particulière : le problème est davantage vécu comme un exercice certes inédit « sanctionné » toutefois selon qu’il a juste ou faux à savoir s’il a trouvé ou non la solution attendue avec la méthode  C’est à ce niveau qu’intervient par conséquent la question de la procédure de résolution et en particulier celle des phases intervenant dans cette résolution.

 

c.      Représentation et modélisation

La résolution de problème est en réalité un acte complexe faisant intervenir plusieurs paramètres. Le moment-clé de ce processus réside dans la modélisation ou non que l’élève parvient à opérer à partir de l’énoncé. Il s’agit pour lui de reconnaître à la lecture de cet énoncé un modèle « référent » qui lui permettra d’engager sa procédure et de traduire en langage mathématique les données du problème et par conséquent de recourir à l’opération attendue. Comme nous le verrons plus tard, la lecture et la compréhension ne sont pas sans générer de lourdes difficultés, en particulier au cycle où la lecture est un acte lui-même encore peu maîtrisé. Les élèves disposent toutefois de plusieurs possibilités de reformulation des données de l’énoncé comme le recours au schéma ou au dessin comme nous le voyons dans l’exemple ci-dessous :pour résoudre le problème suivant : « il y a 32 cubes dans la boîte jaune. Jérôme ajoute 14 cubes dans la boîte, puis Alain en ajoute 12. Combien de cubes y a-t-il en tout ? », les élèves ont à identifier un problème de type additif qui va nécessiter le recours à une addition à trois termes. La première possibilité est que le modèle de référence est clairement identifié d’emblée grâce à « ajoute » qui fonctionne comme un mot inducteur. Il est toutefois possible que l’élève ait recours à une représentation figurée des cubes par des carrés contenus dans un autre carré plus grand (la boîte) qu’il comptera sans recourir à l’addition. Une représentation symbolique est également possible à l’aide de bâton. Par la suite l’élève peut s’appuyer sur cette représentation pour poser une addition et valider le résultat ou surcompter ce qui suppose de dessiner d’abord les 32 cubes de départ, puis les 14 cubes et les 12 derniers. Dans le cas du surcomptage, l’élève fait ou non apparaître les résultats intermédiaires. Le recours à la représentation peut s’avérer utile dans ce cas précis pour permettre de contrôler, ou encore d’identifier le modèle additif après avoir dessiné successivement dans l’ordre des informations de l’énoncé introduites par « ajoute » les cubes. Le résultat final est ainsi obtenu en comptant l’ensemble des cubes (ou des bâtons) ou en posant une addition auquel cas le résultat est obtenu par calcul selon les propriétés de la numération et la maîtrise de l’addition.


2.      Apprendre à résoudre

Si l’on reprend la définition que nous donnions du problème, l’enfant qui est face à un problème ne dispose pas d’outils lui permettant de le résoudre par conséquent la résolution de problème ne peut pas être considéré comme la simple application d’un algorithme, au détriment de tout travail exploratoire.

 

a.      La résolution

A l’idée de résolution sont attachées deux notions : celle de stratégie de résolution et celle de procédure de résolution. La procédure pourrait être définie comme un système d’opérations que l’on exécute pour résoudre un problème alors que la stratégie renvoie à la construction de cette procédure ce qui nécessite de la part de l’élève un effort de recherche, de formulation d’hypothèses et d’analyse. Dans le cadre du cycle 2 où l’on propose des problèmes de type additif[2], il s’agira pour l’élève d’identifier la situation proposée selon que A et B sont réunis, que A est ajouté à B, que A et B sont séparés ou Selon que A est retranché à B. Il devra alors repérer les données numériques à utiliser et l’opération qui les reliera pour trouver l’inconnue. La complexité d’une telle démarche que les élèves maîtrisent difficilement nous conduit à envisager l’idée d’un apprentissage à la résolution de problème.

 

b.      Les problèmes pour chercher

La classification des problèmes établies par R. Charnay fait apparaître également une autre catégorie de problème : les problèmes ouverts[3] qui placent l’élève en situation de recherche et vont l’amener à développer des compétences méthodologiques. L’intérêt principal de cette pratique réside à nos yeux dans l’idée que l’élève trouve ici une occasion de se confronter aux véritables enjeux des Mathématiques en matière de résolution de problème à savoir que l’idée de résultat est supplantée par la démarche personnelle de l’élève, qui devient alors responsable de ses choix de procédure. Face à un problème de type multiplicatif comme un problème de partage, un élève de cycle 2 devra mettre en œuvre une procédure personnelle issue d’une réflexion entièrement personnelle à partir des outils et compétences dont il dispose déjà relativement aux situations additives sachant qu’il a déjà lui-même la capacité de valider sa procédure en fonction de son efficacité sans avoir à se soumettre à la « sentence » de l’enseignant. L’élève peut ainsi développer des procédures, ce qui dédramatise considérablement l’acte de résolution de problème.

Ces problèmes représentent donc des outils d’apprentissage précieux sur un plan méthodologique. L’élève apprend à chercher et à réinvestir ses acquis antérieurs sachant que l’une des finalités de l’activité de résolution de problème est que l’élève parvienne à opérer des transferts d’une situation vers une autre.

 

3.      Résoudre pour apprendre

Au-delà de la nécessité pour l’élève de cycle 2 de faire évoluer ses procédures dans un souci d’efficacité, le travail sur le champ numérique reste un enjeu essentiel qui s’inscrivant dans la durée fait l’objet d’un apprentissage à part entière.

 

a.      Le savoir comme objet de construction

Les auteurs de L’apprentissage à la résolution de problèmes au cycle élémentaire se réfèrent à G. Brousseau pour qui, à la base de l’acquisition du savoir se trouve le franchissement d’un obstacle : c’est en étant confronté à l’inefficacité de ses connaissances anciennes par le biais du problème que l’élève va être amené à remettre en question son savoir au profit d’un savoir nouveau. R. Charnay évoque à ce sujet le concept de conflit cognitif : contraint par le constat des limites de ses connaissances dans la résistance de la situation, l’élève cherche à se donner de nouveaux outils. L’activité de résolution ne prend de sens que dans cette mise à l’épreuve suffisamment difficile pour donner lieu à une sorte de dialectique du savoir.

 

b.      Les problèmes pour apprendre

A la base de l’appropriation et de l’apprentissage des nouvelles connaissances peut se trouver la situation-problème qui s’avère être une approche intéressante des compétences du cycle 2 à condition que l’élève participe réellement à la construction du savoir et que soient pris en compte certains paramètres comme les variables didactiques On peut relever deux types de situation-problèmes : celles mettant en jeu la remise en cause d’une conception erronée et celles mettant en jeu la prise de conscience d’une procédure insuffisante ou « lourde ». La connaissance à acquérir (savoir, savoir-faire, méthode…) doit constituer l’outil le plus adapté pour la résolution. Ce type de problème comporte un certain nombre d’étapes nécessaires comme une phase d’action individuelle ou en groupes donnant l’occasion à l’élève de mettre en œuvre ses connaissances anciennes, suivie d’une phase de formulation et de validation collective des procédures utilisées ponctuées par l’institutionnalisation des nouveaux savoirs. Donner un exemple de situation-problème avec les procédures que les élèves vont mettre en œuvre et le savoir objectif.

 

Le problème se présente donc sous différentes formes : du problème dit « classique » et ritualisé on arrive à l’idée de problème comme outil d’apprentissage d’ordre méthodologique ou cognitif. L’enjeu est de taille puisque l’activité de résolution de problème véhicule auprès des élèves une image forte de l’apprentissage des Mathématiques.

 

 

 

III.  Nature des difficultés liées à la résolution de problème

Les difficultés liées à la résolution de problème sont nombreuses et en partie liées au cycle même où elle est pratiquée. En effet, le cycle des apprentissages fondamentaux eu égard aux objectifs qui y sont poursuivis rend difficile la mise en œuvre de cette activité. De manière générale les élèves élaborent une conception du problème dont la prégnance complique la nature de leurs relations. Des difficultés plus techniques aux difficultés d’ordre réellement affectif il n’y a qu’un pas que beaucoup franchissent.

 

1.      Difficultés liées à la lecture de l’énoncé

Comme nous le fait remarquer R. Brissiaud dans La lecture des énoncés de problèmes, les questions de compréhension de l’énoncé et de résolution du problème sont indissociables ce qui sous-entend que l’étape de la lecture de l’énoncé est capitale.

 

a.      Les difficultés d’ordre linguistique

Nous avons remarqué que la structure du problème dit « classique » qu’il est désormais possible d’opposer aux situation-problèmes ou encore aux problèmes ouverts comporte toujours un énoncé accompagné de questions, par conséquent la lecture du problème peut représenter, pour un lecteur débutant une phase problématique compte tenu de la multiplicité des tâches à opérer simultanément. En effet il s’agit pour l’élève d’avoir une lecture suffisamment rapide qui lui permette de saisir l’énoncé dans son ensemble et de percevoir également ce qui lui est demandé. Nous avons pu constater auprès de deux enseignantes de CP d’une école relevant d’une ZE.P. que ceci constituait l’élément déterminant jouant en défaveur de la pratique de la résolution de problème avec l’idée qu’un élève manifestant d’importantes difficultés dans l’apprentissage de la lecture n’est pas en mesure, sur le plan cognitif, de faire face à la complexité inhérente à cette activité.

On ne peut certes ignorer la difficulté que représentent certains énoncés de problèmes sur un plan linguistique dans la mesure où il incombe à l’élève de saisir les informations tant explicites qu’implicites contenues dans l’énoncé. S’ajoute à cela la présence de certains obstacles à déjouer comme ceux que représentent certains mots inducteurs : un enseignant propose en début d’année dernière à sa classe de CE1 (dans la même école que précédemment) le problème suivant : « Florian a 65 images dans sa pochette. Il en donne 12 à son copain. Combien d’images Florian a-t-il maintenant ? » : beaucoup d’élèves se sont arrêtés sur le verbe « donner » qui les a amenés à effectuer 65+12=77 pour résoudre ce problème. La fonction de ces mots n’est par conséquent pas anodine et s’avère avoir une importance plus grande encore pour des élèves rapidement confrontés à un problème de surcharge cognitive : agissant comme des repères tout indiqués, ils captent l’attention et apparaissent comme des mots guides auxquels l’élève se fie au détriment de toute autre forme de raisonnement.

 

b.      Expérience personnelle et connaissance du monde

Les énoncés de problème proposent le plus souvent des situations de la vie quotidienne, certes hypothétiques mais néanmoins concrètes et nécessitant par conséquent une connaissance du monde auquel ils renvoient. On remarquera qu’au-delà des difficultés d’ordre sémantique, l’enfant doit considérer le texte de l’énoncé non comme un récit mais bien comme un texte particulier accordant une place importante à l’implicite. Il doit pour cela se référer à son expérience personnelle qui lui permettra de pallier ce manque. Ceci doit cependant se faire sans que cette même expérience ne vienne « parasiter » la résolution sous peine d’engendrer des difficultés dans la résolution : on peut citer le cas de Théo, élève de la classe de CE1 évoquée plus haut qui pour résoudre un problème intitulé « le catalogue » et ayant pour consigne à partir d’une page de catalogue présentant des jouets et leurs prix « Fais une commande. Elle ne doit pas dépasser 350F » a choisi les deux jouets qui lui plaisaient le plus et il s’est avéré que le montant total de sa commande s’élevait à 115 F. Théo s’est appuyé sur sa propre expérience selon laquelle il peut commander ce qui lui plaît du moment qu’il ne dépasse pas les 350 F permis : il ne s’agissait pas pour lui d’acheter le plus possible de jouets avec cette somme (ce qu’attendait le maître qui leur avait laissé 20 minutes de réflexion).

 

c.      Le contrat didactique

On s’aperçoit donc que certaines règles tacites viennent réguler l’activité de résolution de problème et la plus importante d’entre elles, celle qui est la plus ancrée dans l’esprit des élèves, est certainement la notion de contrat didactique existante entre l’enseignant et l’élève. Ce concept renvoie aux attentes respectives existantes entre le maître et l’élève mais ce qui nous intéresse plus particulièrement dans ce propos est cet aspect qui concerne les attentes que l’élève projette sur l’enseignant à savoir les attentes auxquelles il s’imagine devoir répondre. Ce sont elles qui le guident dans l’idée que pour résoudre un problème il faut utiliser toutes les données numériques, les combiner en opérations et surtout trouver « la bonne solution » que le maître attend. Il ne voit alors d’autre utilité à la résolution de problème que celle liée à la demande du maître, ce qui le conduira parfois à devoir trouver une solution à tout prix sous peine de le vivre comme un échec très fort. On notera ici l’intérêt que peuvent représenter les situation-problèmes et bien sûr les problèmes ouverts qui permettent à l’élève de se détacher de ce rapport au maître et d’acquérir une attitude bien plus active et de lever les inhibitions inhérentes à la prégnance du contrat didactique.

 

2.      Difficultés liées à la nature des procédures mises en œuvre

Le choix de la procédure a une incidence non négligeable sur la résolution du problème, d’autant que le cycle des apprentissages fondamentaux amène l’élève à entreprendre de passer d’une représentation symbolique à une représentation plus  « réfléchie » cela implique de maîtriser un certain nombre de compétences d’ordre mathématique.

 

a.      Compétences en cours d’acquisition

Ces compétences sont d’abord de nature numérique : les principes de la numération décimale et des échanges, et l’extension du domaine numérique aux « grands » nombres mais concernent également les techniques additives ainsi que le calcul réfléchi. Autant de connaissances à mettre en œuvre dans la résolution, ce qui peut être source d’erreur si elles ne sont pas maîtrisées. C’est ainsi qu’au jeu du Caissier dans la classe de CE1(la partie se déroule en 3 tours : les 3 joueurs tirent chacun leur tour un carton dans une boîte contenant des cartons numérotés de 6 à 16 et se font échanger ces cartons par le caissier contre des billets) après le déroulement de la partie le maître pose le problème suivant « Bruno a tiré les cartons marqués 16, 14 et 8. Il a reçu 38 F de la part du caissier. Est-ce correct ? » et Rémi qui a bien identifié qu’il fallait vérifier par une addition si la somme des nombres des cartons était égale à 38 a entrepris de poser l’addition mais n’est pas parvenu au résultat final. Il a d’abord poser 16+14 faisant apparaître à côté le 8 mais n’a pas pu poursuivre ne sachant que faire de la retenue. Ces compétences sont encore plus instables à l’entrée au CP (comptine numérique erronée, recours au dénombrement laborieux, lecture des nombres difficiles ou encore surcomptage maladroit) et constituent d’emblée un obstacle à la résolution de problème sachant que l’élève aura plus de mal à prendre du recul par rapport à l’ensemble de la situation donnée et qu’il peut perdre de vue le but qu’on lui propose de rechercher.

 

b.      Choix de la procédure de résolution

La maîtrise ou non des compétences mathématiques conditionne donc le choix de la procédure et l’élaboration de la stratégie de résolution. L’élève peut avoir recours à des procédures rapides et efficaces comme il peut être contraint d’effectuer un travail plus laborieux. Prenons l’exemple d’un problème posé le premier jour de CE1 proposant d’établir deux collections équipotentes A et B :  « Il y a 21 élèves dans une classe. La maîtresse donne des cahiers et des livres. Chaque élève reçoit 2 cahiers et 1 livre. Combien la maîtresse a-t-elle donné de cahiers ? Combien de livres a-t-elle donnés ? ». Au cours de plusieurs séances les élèves ont à élaborer au moins 4 stratégies de résolution de leur choix. Considérons le travail de Najib : lors de la première séance il a dessiné les 21 têtes des élèves pour calculer le nombre de cahiers distribués et a relié à chaque tête deux petits carrés symbolisant les cahiers mais le nombre important d’élèves eu égard à ce type de procédure l’a conduit à des oublis : les carrés étant plus gros que les têtes, son schéma était décalé de deux rangs vers le bas ce qui l’a conduit à oublier d’attribuer deux cahiers à un élève. De plus, en recomptant le nombre de cahiers il a abouti au résultat de 37 (pour 42). Au cours de la dernière séance il a opté pour une procédure de forme algébrique telle que « 2+22+22…. » oubliant les signes « + » pour ne pas oublier de « 2 » mais s’est trouvé pris au piège en doublant le nombre de « 2 » : il écrivait bien « 22 » puisqu’il a intercalé le signe « + » entre chaque « 22 ». Les difficultés rencontrées par Najib illustrent bien l’idée que la maîtrise des compétences mathématiques relatives au cycle 2 peut permettre d’éviter bien des erreurs et faciliter ainsi le rapport à la résolution de problème.

 

3.      Les blocages d’ordre affectif

Le constat par l’élève de l’échec des procédures mises en œuvre l’amène à envisager cette activité sous un angle bien plus affectif que mathématique. L. Brunelle évoque d’ailleurs les actes magiques que les élèves réalisent à cette occasion…

 

a.      Le poids de l’échec

Si on observe le comportement des élèves face au problème dans sa généralité, il apparaît très nettement que l’idée même d’être confronté à un énoncé de problème engendre un sentiment d’appréhension à l’idée même de ne pas comprendre l’énoncé et de ne pas parvenir à le résoudre. La rigidité du problème classique et son caractère fermé « dramatise » le moment de la résolution de problème. En effet, sous cette forme le problème suppose une solution unique – que selon les règles du contrat didactique l’élève suppose attendue par le maître -  donc un raisonnement devant correspondre à une certaine « norme » implicitement fixée, à savoir l’identification et le réinvestissement de notions précédemment étudiées en classe. En d’autres termes, l’élève sait qu’il est « sensé » savoir, ce qui accentue le poids de la difficulté. Le problème fonctionne alors comme l’expression d’une sanction de leurs difficultés. Selon ses critères, l’élève perçoit très clairement qu’il n’est pas en mesure de répondre aux attentes  de l’enseignant et entre dès lors dans une logique d’appréhension qui l’inhibe et le conduira plus facilement à l’échec en occultant sa capacité à faire face, à surmonter la situation. Nous avons eu l’occasion d’observer l’attitude en classe de CE1 de certains élèves qui dès que le maître annonce un « problème » se tassent sur leur chaise. Après avoir questionné l’un d’eux sur son comportement il a expliqué espérer à ce moment que le maître l’ « oublie » en distribuant les polycopiés d’énoncé parce que dit-il : « de toute façon je vais pas y arriver » (propos de Théo) alors que par ailleurs le problème relève selon l’enseignant de ses capacités. Cet abattement illustre tout à fait le poids de l’échec et la logique qui se crée dans cette relation négative au problème qu’entretiennent un nombre non négligeable d’élèves.

 

b.      Interactions avec la classe

Ce que nous disions en première partie au sujet de l’auto-évaluation prend ici tout son sens et se voit complété par l’idée que la validation doit découler d’une interaction entre les élèves. Ceux-ci projettent trop de sentiments sur l’enseignant pour qu’il puisse valider leurs procédures sans que cela ait de conséquences affectives. En revanche les situations relevant de problèmes ouverts valorisent l’originalité et l’individualité au détriment d’une norme qui aurait tacitement été établie. La phase de mise en commun donne l’occasion aux élèves de communiquer et de défendre leur procédure auprès de leurs camarades à condition que le maître n’intervienne pas dans le débat et ne favorise pas l’attitude consistant à exhiber la « bonne » solution. La confrontation aux autres démarches adoptées donne par ailleurs l’occasion aux élèves, en fin de séquence, d’essayer une autre procédure qu’ils auront estimé plus performante que la leur et de se l’approprier. Ceci nous amène donc à penser que le fait de ne pas initier les élèves à ce type de problèmes peut s’avérer préjudiciable de même que le problème ouvert semble être une bonne occasion de faire découvrir aux jeunes élèves les enjeux de la résolution de problèmes et de favoriser une attitude de recherche. La pratique tardive de la résolution de problème semble donc ne pas être sans conséquence et il s’avère utile de distinguer les difficultés relatives aux notions en cours d’acquisition et celles inhérentes à une pratique trop centrée sur le problème classique perçu comme une sorte d’évaluation et de moyen de contrôle par l’élève.

 

 

 

 

IV. Apports de la résolution : la question du sens

 

L’apprentissage et la vision de la discipline des mathématiques a tout à gagner de la pratique de la résolution de problème mais celle-ci doit pour cela répondre à certains impératifs de cohérence pour être efficace.

 

1.      Le statut de l’erreur

R. Charnay précise que résoudre un problème ce n’est pas se limiter à trouver « le bon calcul » mais c’est élaborer une solution la construire, « essayer, bricoler »…

 

a.      L’erreur comme étape du raisonnement

Autant d’essais qui nous amènent à devoir considérer l’erreur sous un autre angle. De manière générale et courante l’erreur est perçue comme un échec et une faute, une faille dans le raisonnement voire même une incapacité à raisonner. Ce qui favorise chez l’élève un manque de confiance en ses capacités. Il semble toutefois nécessaire de conférer à l’erreur une utilité. Dédramatiser l’erreur contribue à encourager une attitude active de recherche chez l’élève. Ce sont les problèmes de recherche (ou problèmes ouverts) qui se prêtent le mieux à cela : rechercher, c’est émettre des hypothèses que l’on va chercher à vérifier. L’erreur intervient donc à ce moment comme une contradiction à résoudre, comme une étape nécessaire. Trouver une solution n’est pas le fruit de hasard mais le résultat d’un travail, d’un raisonnement ce qui n’est pas sans nécessiter des efforts de la part de jeunes élèves qui doivent accepter de recommencer à chercher sans même avoir la garantie que la solution existe.

 

b.      Dynamique de recherche

Si cette hantise d’avoir « faux » évoquée par F. Boule s’estompe, le tâtonnement expérimental devient alors la marque d’un esprit en mouvement et non plus celle d’un esprit figé incapable de raisonner. Le concept même de contradiction rattaché à celui de l’erreur contribue à développer chez l’élève une capacité à surmonter les obstacles par la voie du raisonnement. Comme la maîtrise de la langue, cette capacité à ne pas se laisser arrêter par les obstacles rencontrés est une compétence transversale. C’est en cela que l’on peut parler de la trandisciplinarité des Mathématiques. A. Descaves va jusqu’à aborder la question du désir de connaître et envisage la résolution de problèmes comme le « remplissement d'un manque ». C’est par conséquent un travail qui s’inscrit dans la durée et qui participe activement de l’autonomie des élèves par rapport à l’enseignant.

 

2.      La question du sens

a.      Le sens du savoir

 

Nous considérions en première partie de ce travail le problème comme un outil d’apprentissage mais après avoir évoqué les difficultés rencontrées par les élèves, on peut sans conteste aller jusqu’à dire que l’activité de résolution de problème donne un sens au savoir. Les difficultés éprouvées dans l’élaboration d’une procédure de résolution font entrer l’élève dans une dimension dialectique d’où il ressort que le savoir – qu’il soit méthodologique ou cognitif – devient le véritable but poursuivi dépassant la finalité initiale de la résolution. Ce sont ces difficultés mêmes qui, en rendant nécessaire l’acquisition de connaissances nouvelles face à l’insuffisance des connaissances anciennes, donnent du sens à l’apprentissage mathématique dans son ensemble. Une compétence mathématique ne peut être étudiée pour elle-même mais doit répondre à un manque. Ce n’est qu’en éprouvant le caractère laborieux de l’utilisation du schéma pour compter que l’élève de CP prendra conscience de la technique additive.

 

b.      Le sens de la recherche

 

Le sens du savoir donne un sens à la recherche et à l’élaboration de procédures de résolution et permet de saisir la démarche et la stratégie adoptée pour résoudre un problème. La démarche correspond à la manière propre à l’élève de percevoir et de modéliser l’énoncé et les données du problème. Il s’avère par conséquent important de prendre en compte les difficultés éprouvées pour ce qu’elles permettent d’entrevoir de la démarche de résolution et du raisonnement. Les erreurs faites répondent à une logique et sont le fruit d’un cheminement de la pensée qu’il semble important de comprendre pour pouvoir par la suite travailler sur la manière qu’a l’élève d’aborder le problème à savoir quelles informations ou quels mots ont attiré son attention, comment il traite les données et comment il organise sa démarche. L’erreur permet à l’élève de prendre conscience de l’activité de raisonner dans ce qu’elle permet d’obtenir comme résultat : chercher aide l’élève à surmonter les difficultés et à dépasser les blocages ressentis face à l’énoncé avec cette idée que c’est par la réflexion que l’on peut obtenir un résultat.

 

            En conclusion, nous pouvons donc constater l’importance de l’activité de résolution de problème en ce qu’elle permet de faire acquérir à l’élève un mode de réflexion et une ouverture capitale sur le savoir mathématique. Un élève peu habitué à cela éprouve des difficultés conséquentes que l’on observe par la suite lors des évaluations réalisées à l’entrée en cycle 3 qui permettent de vérifier la maîtrise des compétences exigibles et celles en cours d’acquisition. Et on observe très clairement qu’une pratique tardive et cloisonnée du problème induit des blocages et des difficultés importantes.

 

Repères bibliographiques

 

 

 

Ouvrages principaux :

 

Comprendre des énoncés, résoudre des problèmes, A. DESCAVES, Hachette Education « Didactiques », 1992.

Le problème et l’enseignement des Mathématiques, O. RENAUT, CRDP Dijon, 1990.

Grand N, n°42 : « Apprendre la résolution de problèmes », IREM Grenoble, 1988.

« Problème ouvert, problème pour chercher », R. Charnay, extrait de Grand N n°51, IREM Grenoble

Rencontres pédagogiques n°4 : « Comment font-ils ? : l’écolier et les problèmes en Mathématiques », INRP

Rencontres pédagogiques n°21 : « Un, deux…beaucoup, passionnément ! : les enfants et les nombres », INRP , 1988.

Apprentissages à la résolution de problèmes au cycle élémentaire, CRDP Dijon, 1987.

Apprentissages numériques et résolution de problèmes, CP, ERMEL, Hatier, 2000.

 

Ouvrages consultés :

 

La construction des nombres, F. BOULE, Armand Colin « Pratique pédagogique », 1989.

De l’erreur à la réussite en Mathématiques, L. BRUNELLE et D. BARATAUD, Nathan Education  « Références et pratiques », 1985.

 



[1] Il s’agit ici de considérer le sens donné par Piaget cité par L. Brunelle et D. Barataud dans De l’erreur à la réussite en Mathématiques à savoir « le système de ce que peut faire un sujet ».

[2] Distinction établie selon la classification des problèmes donnée par G. Vergnaud

[3] Concept développé par l’IREM de Lyon