Eléments d’arithmétiques

· Division euclidienne de 195 par 13 :

15 est le quotient euclidien

0 est le reste

195 est le dividende

13 est le diviseur

· Un naturel est divisible par 4 si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4

Multiplication et division dans l’ensemble des naturels

Distributivité : a(b+c)=ab+ac

Associativité : a(bc)=(ab)xc

Commutativité : ab=ba

Types de procédures pour résoudre les problèmes de division :

- dessin figuratif

- dessin schématisé

- additions ou soustractions pas à pas

- multiplication à trou

Procédures pour la multiplication :

- dessin ou schéma

- procédure additive

- procédure multiplicative

Proportionnalité, fonctions numériques

· Propriété additive : l’image d’une somme est la somme des images

A	B	- - - - - - - - -	A+B
A’	B’	- - - - - - - - -	A’+B’

F(X1 + X2)=f(X1) + f(X2)

· Propriété multiplicative :

X	- - - - - - - -	kX
Y	- - - - - - - -	kY

f(kX) = k f(X)

additions et soustractions

apprentissage du CP au CE2

Eléments de base de la géométrie

Un angle aigu est plus petit qu’un angle droit

Un angle obtus est plus grand qu’un angle droit

· Les 3 hauteurs d’un triangle se coupent à l’orthocentre

· Les 3 médianes se coupent au centre de gravité ( AG = 2/3 AA’)

· Les 3 médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit

· Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur

· Un losange est un quadrilatère qui a des diagonales perpendiculaires qui ont même milieu

Les transformations

· La symétrie axiale (par rapport à une droite)

· La symétrie centrale (par rapport à un point)

· La rotation

· La translation

· La projection orthogonale (à tout point M, on associe le point M’ tel que M’ est l’intersection de (D) et de la perpendiculaire à (D) passant par M

· L’homothétie CM’ = k CM

Ensembles de nombres, calculs dans Q et R

· N : ensemble des nombres naturels (0, 1, 2…n)

· Z : ensemble des nombres entiers (-n….0….n)

· Q : ensemble des nombres rationnels (x = a/b avec a et b entiers et b ¹ 0)

· D : ensemble des nombres décimaux (a = b/10 puissance n avec n entier naturel, b entier relatif)

· R : ensemble des nombres réels : les seuls rationnels qui sont des décimaux peuvent s’écrire à l’aide d’une fraction irréductible dont le dénominateur est composé par le produit d’une puissance de 2 par une puissance de 5. Attention : 1.999999999 est décimal

Les entiers naturels

Procédures :

- correspondance terme à terme

- estimation

- dénombrement

- recomptage

- décomptage

- surcomptage

Géométrie dans l’espace

· Un polyèdre est un solide délimité par des faces qui sont toutes des polygones

· Un prisme droit est un polyèdre qui a 2 faces superposables

· Un tétraèdre a 4 faces triangulaires

· Une pyramide a 3 faces triangulaires et une face rectangulaire

· Un cône a une face qui est un disque

Quelle est l’activité de l’élève ?

· Comprendre le texte et l’énoncé

· Comprendre la figure de l’énoncé

· Elaborer une stratégie de résolution

· Construire une solution

· Expliquer sa démarche

Type de procédure :

Qu’a-t-il recherché pour arriver au résultat ?

Connaissances et compétences (proportionnalité) :

· Savoir appliquer les 2 grandes propriétés de la fonction linéaire

Additive : f(a+b) = f(a) + f(b)

Multiplicative : f (ka) = k.f(a)

· Savoir calculer addition, multiplication et division

· Savoir donner une décomposition additive et multiplicative d’un nombre à l’aide des diviseurs de 100 (ex : 430 = (4*100) + (100/4) + (100/20))

Les différentes structures additives :

· Composition d’états (réunion ou opération interne) : à 2 cardinaux a et b on fait correspondre un troisième c qui est la somme.

· Transformation d’états (aspect fonctionnel) : cette structure correspond à une situation dynamique : on passe d’un état initial a à un état final c par la transformation ajouter b ou retirer b.

· Comparaison d’états : cette structure correspond à une situation statique où l’on s’intéresse à l’écart b (positif ou négatif) séparant un état a d’un état c.

· Composition de transformations (opération interne sur les transformations) : à 2 transformations, on associe la transformation composée.

Technique scolaire française de la division euclidienne :

Exemple : 4584/8 :

· Encadrement du dividende afin de prévoir le nombre de chiffres du quotient :

800<4584<8000

8*100<4584<8*1000

le quotient, compris entre 100 et 1000 s’écrira avec 3 chiffres

· Disposition en potence

Les soustractions partielles sont écrites

L’élève peut s’aider d’un répertoire des multiples du diviseur (table de multiplication partielle ou complète)

Traduction du calcul opératoire par une écriture en ligne du type : a = bq + r

Il existe 3 types de problèmes :

- problèmes pour construire de nouvelles connaissances

- problèmes pour apprendre à chercher

- problèmes d’application ou d’entrainement